【起子】从许多数学高手的口中，经常听到“数学思想”这个词，一直期望自己能够掌握那个“东东”，却总是觉得无从下手！想得晕头转向的时候，干脆来一句：没有做过题就等于没有学过数学！于是就暂时平静下来。但总是觉得好奇……

【锻炼项目】
数学思想的锻炼项目：
命题，形式逻辑三定律，全称命题，特称命题；
规谬，归纳，充分条件，必要条件，逆否命题。

先废话一句，要锻炼自己的手臂肌肉可以怎么做？哑铃、杠铃、引体向上、俯卧撑……锻炼项目各种各样！

数学思想也是这样，需要锻炼的。但是，领悟了的人却对没有领悟的人说：“问我怎么领悟到的？不知道啊！我就这么领悟了。或许应该是有点天分吧？”
完全是扯淡！

其实就是一层窗户纸而已。

【项目简单解释】
1、进入数学思想天地
“逻辑是数学的生命。”
“形式逻辑学是近代数学的精华。”

a同一律 b矛盾律 c排中律

a汪精卫是日本的狗。狗是抬起后腿撒尿的。所以汪精卫是抬起后腿撒尿的。
这种推理就是违反同一律的。因为两句话的“狗”涵义并不同，前者是走狗，而后者的普通的家畜、宠物，狗。

b他考试及格。他考试不及格。这两句就是矛盾的。矛盾律即是不能同真同假。而一个古老的成语“自相矛盾”实际上并不满足矛盾律。
成语故事我就不讲了，因为可能同时出现“矛能别盾抵挡住”和“盾不能抵挡别的矛”，即“自相矛盾”可以同假，因此不符合形式逻辑里面的矛盾律。
这一点要分清楚。

c同上，不可能同时出现他考试及格和不及格。这即是排中。

2、证明
“规谬法是形式逻辑的精华。”
这是我们中学已经学过的反证法。

近代科学几乎都是不完全归纳法。（这个思想理解了，再学习其他专业课程会轻松许多，这里先不展开）

“征服数学的关键在于了解必要、充分条件”

“逆否的逻辑。”
A是B－》不是B就不是A。

理论基础就是这么多了。里面的许多思想都参考《给讨厌数学的人》。

数学的基本内容大致就是“概念、定理、公式、题目”。

试一试，自己真的懂了数学的简单概念吗？

【实战1】
《高等数学》上册 第一章 的几个概念
集合、常量、函数

1、集合
教材：“集合是指具有某种特定性质的事物的总体。”

几乎所有近代科学的概念和定义，都是从集合而来。因此，教材上讲“集合是数学中一个原始的概念”的意思是——集合的概念能够发展出几乎所有的其他科学概念，它的原始是因为它够基础，而不是它很“老”。

再仔细读概念，“特点性质”。为什么不只是“性质”，非要加上“特定”？加上“特定”之后，
“集合是指具有某种特点性质的事物的总体。”
“具有某种特点性质的事物的总体是集合。”就是等价的，除去“特定”就不再等价了。

例如，我们试着自己定义“人”的概念：
人是会吃的生物。－》会吃的生物是人。（吃并不是人的“特定性质”，所以这句话只能作为判断使用，不能作为定义或者概念；另外，判断能够定义的依据就是将那句话反过来，如果定义不严谨，会出现很可笑的句子，就象“会吃的生物是人”）
正确的定义：
人是会制造工具的生物。《＝》会制造工具的生物是人。（正反都没问题吧？而且“会制造工具”是人的“特定性质”）

2、常量

教材：“在过程中不起变化的量是常量。”
《＝》“常量是在过程中不起变化的量。”（同真，检测通过OK）
a）这句话可以判断真假。是命题。（锻炼项目：命题）
b）同一律，是在过程中的量。整数2就不是常量，是常数。
c）矛盾律，引出变量定义。

利用简单的常量定义，训练了自己对“命题、形式逻辑两个定律”的数学思想。

如果学习每个概念，理解每个定理，做每道题目的时候，都使用以上项目（项目多，那么强度大，费时间，但效果好）这样训练，数学思想能力就会提高很快。

3、函数
函数的概念要复杂一些，暂时我还没有想好如何表达出来，先留在这里吧。网友们可以自己用逻辑的训练项目训练一下。